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来源:本站原创  作者:admin  更新时间:2019-10-19  浏览次数:

  力学中的变质量系统问题研究 【摘要】 本文从动态的角度,把一个取不竭发生质量互换的系统做为从 体研究对象, 研究变质量系统的力学纪律,也继而将若不加阐发地把合用于质量 不变系统的力学纪律,用来处理这类问题,就会获得错误的成果做了申明。 【环节词】变质量系统;质点;典范力学 正在液滴的蒸发取凝结、滚雪球、纤绳提拉、以至火箭喷射等变质量的物理力 学问题中,我们往往是着眼于从体的活动。若是把从体做为研究对象,这就是一 个取不竭发生质量互换的系统。这时的环境就较为复杂,若不加阐发地把适 用于质量不变系统的力学纪律,用来处理这类问题,就会获得错误的成果。 图一 一、 若何处置变质量系统的力学问题呢?我们只需设法把它为质量不变 系统的力学问题就行了。如图一,把 t 时辰从体 m,和 t 至 t+△t 时间间隔内从 体取互换的质量△m,做为我们的研究对象。那么,正在 t+△t 的全数时间间 隔内,所会商的系统的质量是不变的,即系统可视为一个质量不变系统,由此就 很容易获得变质量系统的动力学公式。 设某一时辰 t,从体质量为 m,其质心速度为 v,正在 t+△t 时,从体质量变为 m+△m,速度为 v+△v,即这段时间内,有质量为△m 的质元插手(或分开)到 从体上,设△m 正在附着于从体 m 之前的速度为 V, (这里 v 和 v ? 相对于统一惯 性参照系) ,又假设正在△t 时间里,感化正在从体 m 上的合外力为 F。对于包罗 m 和△m 的系统, 其质量是不变的。 因而, 关于质量不变系统的动量道理仍然合用, 于是有: F· △t =(m+△m) (v+△v)– mv –△mv ? 正在△t→0 的极限环境下,略去两个无限小项的乘积,可拾掇得 F+ v ? = m (1) 若以 u 暗示 dm 相对于从体的速度,因 u= v ? – v,则(1)式可写成 F + u= m (1?) 式(1)或(1?)就是变质量系统的力学根基方程。 由式(1)和(1?)能够看出以下意义:式(1?)中 u 具无力的量纲,它显 然是插手(或放出)的质元对从体的一种感化,有人把这种附着(或放出)反映 的感化,称为反感化力。若是考虑到这种反感化力, (1?)式就取凡是的牛顿第 二定律的形式分歧了。对于增质量环境,当 u 取 V 标的目的分歧时,反感化力 u 为 正,对从体来说是鞭策力;反之就是阻力。由静止向上提起一根纤绳的活动,就 属于后者的类型。对于减质量的环境,当 u 取 v 标的目的分歧时,反感化力 u 为负, 对从体来说是阻力;反之就是鞭策力,如火箭飞翔就属这类。 二、按照式(1)或(1?) ,我们能够导出关于变质量系统的动量道理和动能 等力学的主要道理。 式(1)对时间取积分,得 F· △t +v ?dm = m2v2-m1v1 (2) 这就是关于变质量系统的动量道理。 它表白, 对于变质量系统,系统的动量变化,不只取外力感化的冲量相关,并且取质量迁 移所陪伴的动量迁徙的几多相关。 对于 F=0,v=常量的特殊环境,由(2)得 V?(m2-m1)= m2v2 - m1v1 它 清晰地申明,此时系统的动量变化,是因为质量迁徙的成果。 三、 对于变质量系统, 外力所做的功取系统能量变化的关系, 能够推导如下: 若正在 dt 这段时间内,物体通过的位移为 ds,则感化正在系统上的力 F 所做的 元功为 dA = F· ds =· ds-v ?·ds = v·d(mv)-v ?·vdm 因 v· d(mv)= d(mv2)+v2dm 则对于一个完整的过程 A=F· ds =(m2v2 2 -m1v1 2)+v2 2 dm -v ?·vdm (3) 这就是变质量系统的功能关系。 式(3)呈现了两项取质量迁徙相关的项,为了搞清它们的寄义,不妨举例 申明。 如图二所示,若一匀质纤绳,线密度为 λ,盘绕正在滑腻程度面上 h0,由静止 向上提拉。设提拉到高度 hh0 时,速度为 V。取图示坐标,合外力 F= f-λgy;考虑 到 v ? = 0,代入(3)式并拾掇得: f· dy=(λh v 2 + λg h 2)+v 2 dm 上式左边括号暗示纤绳机械能的增量。上式 表白,正在提拉纤绳过程中,拉力所做的功中,有一部门并没有改变为机械能,这 就是提拉过程中的机械能丧失。其意义是很明白的:正在纤绳提拉过程中,不竭有 静止的质元插手从体, 这些质元取从体发生了雷同于非弹性碰撞的物理过程。这 部门丧失的机械能,当然是由外力做功来供给的。 对于 v?不等于零的环境,v ?·vdm ≠ 0,它能够理解为陪伴质元的迁徙所 或迁徙的能量。 (如火箭因燃烧而喷射高 速气流时,所的能量。 ) 四、正在前面的会商中,我们把从体(系统)当作千个 “质点”;就是说,我们 没有考虑物体的动弹,而只研究物体的平动。因而,上述的相关纪律,是关于质 点的变质量系统力学纪律。 正在此根本上,我们能够成立响应的变质量刚体力学规 律。 把根基方程(1)的两边都取矢径 r 取矢积,有 r×F + r×v ?= r× (4) 按照质点角动量的定义 L = r× P = r× mv 对上式取时间 t 的导数 = (r× mv)= r × + v× mv 因 v× mv =0 于是得= r × 将此代入(4)式得 r×F + r×v ?= 这就是变质量系统的质点角动量。 此中 r× F 是感化正在质点上的合外力对 动弹核心(正在这里取做坐标原点)的力矩;若是我们把 r×V?称为附着反映的反做 用力矩,那么式(5)正在形式上取凡是的质点角动量类似。 按照式 (5) , 我们能够进一步导出关于变质量系统的质点系角动量和刚 体动弹定律。 设有多个质点构成的变质量系统,按照牛顿第三定律,诸内力成对地大小相 等标的目的相反,因而它们对任一点力矩的矢量和必等于零。即∑ri×fi =0 令 M = ∑ri×Fi M ? = ∑ri×V ? L = ∑ri×mi vi 此中 M 暗示各外力对动弹核心

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